Beispiel: Merkmale Weizenfläche und Weizenertrag, erhoben auf 8 Betrieben (statistische Reihe).

•  Einfaches arithmetisches Mittel (Durchschnitt, Mittel, Mittelwert):
  Summe einer statistischen Reihe, dividiert durch die Zahl der Reihenglieder.In mathematischer Schreibweise für das Merkmal x:

  \(\bar{X} = \frac{X_1 + X_2 + … + X_n}{n} = \sum\limits_{i=1}^n (X_i)/n\)

  Ergebnisse Beispiel (e.a.M.):
  – Weizenfläche: \(\bar{x}\) = 1,39 ha
  – Weizenertrag: \(\bar{x}\) = 68,13 dt/ha

• Varianz: Mittlere quadratische Abweichung aller Einzelwerte einer statistischen Reihe von zugehörigen einfachen arithmetischen Mitteln.
  Ergebnisse Beispiel:
  – Weizenfläche: \(v_x\) = 0,57 ha
  – Weizenertrag: \(v_x\) = 973 dt/ha

  \(v_x = \frac{1}{n – 1} \sum\limits_{i=1}^n (x_i  – \bar{x})^2\)

• Standardabweichung: Wurzel der Varianz.
  In mathematischer Schreibweise für das Merkmal x:

  \(s_x = \sqrt{\frac{1}{n – 1} \sum\limits_{i=1}^n (x_i  – \bar{x})^2} \)

  Die Definitionsformel kann durch arithmetische Umformungen in eine Form gebracht werden, die rechentechnisch einfacher zu handhaben ist:

  \(s_x = \sqrt{\frac{1}{n – 1} \sum\limits_{i=1}^n (x_i ^2) – n_\bar{x}^2} \)

  Ergebnisse Beispiel:
  – Weizenfläche: \(s_x\) = 0,75 ha
  – Weizenertrag: \(s_x\) = 9,73 dt/ha

• Variationskoeffizient: Verhältnis der Standardabweichung zum arithmetischen Mittel.

  \(Vk_x = \frac{S_x}{\bar{X}}\)

  Ergebnisse Beispiel:
  – Weizenfläche: \(vk_x\) = 0,54 ha
  – Weizenertrag: \(vk_x\) = 0,56 dt/ha

• Gewogenes arithmetisches Mittel: Mit Gewichtungsfaktoren korrigierte Summe der Mess- bzw. Beobachtungswerte einer statistischen Reihe dividiert durch die Summe der Gewichtungsfaktoren.
  In mathematischer Schreibweise für das Merkmal x und den Gewichtungsfaktor g:

  \(\bar{x}^* = \frac{g_1x_1 + g_2x_2 + … + g_nx_n}{g_1 + g_2 + … + g_n} = \sum\limits_{i=1}^n g_ix_i / \sum\limits_{i=1}^n g_i\)

  Bei einer Gewichtung geht man davon aus, dass nicht jede Messung bzw. Beobachtung die gleiche Bedeutung aufweist. In der betriebswirtschaftlichen Praxis ist das gewogene arithmetische Mittel von Verhältniszahlen bedeutsam. Will man beispielsweise berücksichtigen, dass die Weizenerträge pro Flächeneinheit (Merkmal y) auf unterschiedlich grossen Flächen (Merkmal x) erzielt worden sind, so kann obige Formel in folgenden Ausdruck überführt werden:

  \(\bar{y}/\bar{x}^* = \frac{x_1(y_1/x_1) + x_2(y_2/x_2) + … + x_n(y_n/x_n)}{x_1 + x_2 + … + x_n} \)

  Diese Beziehung kann algebraisch vereinfacht werden. Man erhält für das gewogene arithmetische Mittel von Verhältniszahlen die Formel:

  \(\bar{y}/\bar{x}^* = \frac{y_1 + y_2 + … + y_n}{x_1 + x_2 + … x_n} = \sum\limits_{i=1}^n y_i / \sum\limits_{i=1}^n x_i \)

  Ergebnis Beispiel: Weizenertrag: \(xy^*\) = 49,1 dt/ha

• Median: Wert, der bei der Abzählung einer Reihe von der Grösse nach geordneten Merkmalswerten (z.B. Messreihe) in der Mitte liegt.
• Modus: Häufigster Wert innerhalb einer statistischen Reihe.
• Quartilen: Aufteilung einer der Grösse nach geordneten statistischen Reihe in vier Teile.

Beispiel Weizenfläche (ha)